Bài 20: 

a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\)

=> x = y; y = x

=> x = y = z

mà \(M=\frac{x^{670}.y^{670}.z^{670}}{y^{2012}}\)

\(\Rightarrow M=\frac{y^{670}.y^{670}.y^{670}}{y^{2012}}=\frac{y^{2010}}{y^{2012}}=\frac{1}{y^2}\)

b) a + c = 2b

=> d(a + c) = 2bd

=> ad + cd = 2bd  (1)

Có: c(b + d) = 2bd

=> cb + cd = 2bd  (2)

(1);(2) => ad + cd = cb + cd

=> ad = cb

=> a/b = c/d

=> đpcm

đợi nghĩ nốt c đã

ừ, thay chỗ M đi, thế x=y=z vào, rõ là giang biết mà ko làm, làm đi chứ, tui đầu óc ngu si làm sai ko à

c) x² = yz => x/y = z/x

y² = zx => x/y = y/z

=> x/y = z/x = y/z 

=> x/y = z/x = y/z = (x+z+y)/(y+x+z) = 1

=> x = y; y = z

=> x = y = z

=> đpcm

\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\Leftrightarrow x=y=z\)

M =\(\frac{y^{670.3}}{y^{2012}}=\frac{y^{2010}}{y^{2012}}=\frac{1}{y^2}\)

Đề sai nhé  mẫu mũ 2010  => M =1  mới đúng

\(\Rightarrow3+\frac{y+z-2x}{x}=3+\frac{x+z-2y}{y}=3+\frac{x+y-2z}{z}\)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{x}=\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{z}\)

\(TH1:x+y+z=0\)

\(\Rightarrow x=-\left(y+z\right),y=-\left(x+z\right),z=-\left(x+y\right)\)

\(A=\left(1+\frac{-y-z}{y}\right).\left(1+\frac{-x-z}{z}\right).\left(1+\frac{-x-y}{x}\right)\)

\(A=-\left(\frac{z}{y}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{y}{x}\right)=-1\)

\(TH2:x+y+z\ne0\)

\(\Rightarrow x=y=z\Rightarrow A=2^3=8\)

sai đề ròi: tớ làm 2 trường hợp luôn vì trường hợp x+y+z khác 0 thì A mới t/m thuộc N 

mà đề là x+y+z khác 0 -.-

cảm ơn nhiều

làm nổi à bạn. 

1. Ta có : x + y + z = 0 \(\Rightarrow\)( x + y + z )² = 0 \(\Rightarrow\)x² + y² + z² = - 2 ( xy + yz + xz )\(S=\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2}=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(yz+xz+xy\right)}\)

\(S=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{-4\left(xy+yz+xz\right)-2\left(yz+xz+xy\right)}=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{-6\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{1}{3}\)

2. a + b + c = 1 \(\Rightarrow\)( a + b + c )² = 1 \(\Rightarrow\)a² + b² + c² + 2 ( ab + bc + ac ) = 1 \(\Rightarrow\)ab + bc + ac = 0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\)x = a ( x + y + z ) ; y = b ( x + y + z ) ; z = c ( x + y + z )

Ta có : xy + yz + xz = ab ( x + y + z )² + bc ( x + y + z )² + ac ( x + y + z )² = ( x + y + z )² ( ab + bc + ac ) = 0

3. sửa đề : 3x - y = 3z

Ta có : \(\hept{\begin{cases}3x-y=3z\\2x+y=7z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(3x-y\right)+\left(2x+y\right)=3z+7z\\2x+y=7z\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}5x=10z\\y=7z-2x\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=2z\\y=3z\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)\(S=\frac{x^2-2xy}{x^2+y^2}=\frac{\left(2z\right)^2-2.2z.3z}{\left(2z\right)^2+\left(3z\right)^2}=\frac{4z^2-12z^2}{4z^2+9z^2}=\frac{-8z^2}{13z^2}=\frac{-8}{13}\)

Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)

Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)

Ta có:

\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)

Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)

\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)

Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)

\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)

Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Ta có:\(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)

Mách mk nốt 2 bài kia vs

chiju

bài này là bđt bunhia copxi khi xảy ra dấu =
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
c/m nhân tung ra thôi bạn
 !@@@

Câu 1:

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow x=ak;y=bk;z=ck\)

Ta có: \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{bck-bck}{a}=0\) (1)

\(\frac{cx-az}{b}=\frac{ack-ack}{b}=0\) (2)
\(\frac{ay-bx}{c}=\frac{abk-abk}{c}=0\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)

Câu 2:

Theo đề bài ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\), thêm 1 vào mỗi phân số ta được:

\(\frac{a}{b+c}+1=\frac{b}{a+c}+1=\frac{c}{a+b}+1\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{b+c}=\frac{a+b+c}{a+c}=\frac{a+b+c}{a+b}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\cdot\frac{1}{b+c}=\left(a+b+c\right)\cdot\frac{1}{a+c}=\left(a+b+c\right)\cdot\frac{1}{a+b}\)

Vì a,b,c khác nhau và khác 0 nên đẳng thức xảy ra chỉ khi a + b + c = 0 => \(\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{cases}}\)

Thay vào P ta được:

\(P=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\)

Vậy P = -3

Câu 3:

Theo đề bài ta có \(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\), bớt 1 ở mỗi phân số ta được:

\(\frac{2a+b+c+d}{a}-1=\frac{a+2b+c+d}{b}-1=\frac{a+b+2c+d}{c}-1=\frac{a+b+c+2d}{d}-1\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

- Nếu a + b + c + d \(\ne\) 0 => a = b = c = d lúc đó M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

- Nếu a + b + c + d = 0 => a + b = -(c + d)

                                        b + c = -(d + a)

                                        c + d = -(a + b)

                                        d + a = -(b + c)

Lúc đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4